Натуральное число

Материал из свободной русской энциклопедии «Традиция»

Натура́льные чи́сла — числа, возникающие естественным образом при счёте (как в смысле перечисления, так и в смысле исчисления).

Существуют два подхода к определению натуральных чисел — числа, используемые при :

перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий…) — подход, общепринятый в большинстве стран мира (в том числе и в России).
обозначении количества предметов (нет предметов, один предмет, два предмета…). Принят в трудах Бурбаки, где натуральные числа определяются как мощности конечных множеств.

Отрицательные и нецелые числа — натуральными числами не являются.

Множество всех натуральных чисел принято обозначать знаком $\mathbb{N}$ .

Существует бесконечное множество натуральных чисел — для любого натурального числа найдется другое натуральное число, большее его.

Натуральные числа можно использовать для счёта (одно яблоко, два яблока и т. п.).

Содержание

1 Напоминание
2 Определение
- 2.1 Аксиомы Пеано
- 2.2 Теоретико-множественное определение
3 Замечание
4 Операции над натуральными числами
5 Натуральные числа в русском языке
6 См. также
7 Ссылки

[править] Напоминание

Напоминание определяет ключ, в котором рассматривается все изложенное в настоящей статье и других работах по вопросам "деления на ноль". НОЛЬ - 0 - знак обозначающий отсутствие ЧИСЛА. Этот знак числом не является. Отнесение его к числам - результат соглашения некоторых из математиков. Знак 0 находится в одном ряду со знаками-операторами :

+ - обозначающем операцию сложения; - - обозначающем операцию вычитания; (), [] - обозначающими, в ряде случаев, последовательность совершения действий; = - обозначающим отношение к предыдущим действиям (операциям) с числами.

В связи с тем, что 0 - числом не является операции деления, умножения, вычитания и прочие, использующие ноль в качестве числа, можно отнести к парадоксам не только математики, но и математического мышления как такового.

Близким аналогом нуля является Лаплассиан - оператор показывающий последовательность и сущность некоторых действий. 0' (нуль) является оператором указывающим на несовершение действий

Не следует путать число и цифру - знак обозначающий число. В первом приближении, натуральным и единственным числом является единица - 1. Нуль - 0, как сказано выше, - знак, обозначающий или отсутствие числа, либо оператор, указывающий на несовершение действий. Остальные, так называемые числа, - знаки, указывающие на совершение действий. Например: число 7, обозначаемое цифрой 7 является указанием на то, что с некоторыми единицами было несколько раз (в данном сучае семь раз) произведена некоторая манипуляция. Число е - сокращенное обозначение формулы его расчета, число "пи" - аналогично. Вместо цифр используют и другие знаки (формы записи): корень, возведение в степень и т.п.

[править] Определение

[править] Аксиомы Пеано

Основная статья: Аксиомы Пеано

Введём функцию $S$ , которая сопоставляет числу $x$ следующее за ним число.

$1\in\mathbb{N}$ ( $1$ является натуральным числом);
Если $x\in\mathbb{N}$ , то $S(x)\in\mathbb{N}$ (Число, следующее за натуральным, также является натуральным);
$\nexists x\in\mathbb{N}\ (S(x) = 1)$ (1 не следует ни за каким натуральным числом);
Если $S (b) = a$ и $S (c) = a$ , тогда $b = c$ (если натуральное число $a$ непосредственно следует как за числом $b$ , так и за числом $c$ , то $b = c$ );
Аксиома индукции. Пусть $P (n)$ — некоторый одноместный предикат, зависящий от параметра — натурального числа $n$ . Тогда:

если

P (1)

и $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$ , то $\forall n\;P(n)$

(Если некоторое высказывание

P

верно для

n = 1

(база индукции) и для любого

n

при допущении, что верно

P (n)

, верно и

P (n + 1)

(индукционное предположение), то

P (n)

верно для любых натуральных

n

).

[править] Теоретико-множественное определение

Согласно теории множеств, единственным объектом конструирования любых математических систем является множество.

Таким образом, и натуральные числа вводятся, исходя из понятия множества, по двум правилам:

$0=\varnothing$
$S(n)=n\cup\left\{n\right\}$

Числа, заданные таким образом, называются ординальными.

Первые несколько ординальных чисел и соответствующие им натуральные числа:

$0=\varnothing$
$1=\left\{\varnothing\right\}$
$2=\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}$
$3=\Big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\},\;\big\{\varnothing,\;\left\{\varnothing\right\}\big\}\Big\}$

Классы эквивалентности этих множеств относительно биекций также обозначают 0, 1, 2, ….

[править] Замечание

Иногда, в иностранной и переводной литературе, в первой и третьей аксиомах заменяют $1$ на $0$ . В этом случае ноль считается натуральным числом.

В русской литературе обычно ноль исключен из числа натуральных чисел $0\notin\mathbb{N}$ , а множество натуральных чисел с нулем обозначается как $\mathbb{N}_0$ .

Если в определение натуральных чисел включен ноль, то множество натуральных чисел записывается как $\mathbb{N}$ , а без нуля как $\mathbb{N}^*$ .

[править] Операции над натуральными числами

К замкнутым операциям (операциям, не выводящим результат из множества натуральных чисел) над натуральными числами относятся следующие арифметические операции:

Сложение. Cлагаемое + Слагаемое = Сумма
Умножение. Множитель * Множитель = Произведение
Возведение в степень $a b$ , где a — основание степени и b — показатель степени. Если основание и показатель натуральны, то и результат будет являться натуральным числом.

Дополнительно рассматривают ещё две операции. С формальной точки зрения они не являются операциями над натуральными числами, так как не определены для всех пар чисел (иногда существуют, иногда нет).

Вычитание. Уменьшаемое $-$ Вычитаемое = Разность. При этом Уменьшаемое должно быть больше Вычитаемого (или равно ему, если считать 0 натуральным числом).
Деление. Делимое / Делитель = (Частное, Остаток). Частное $p$ и остаток $r$ от деления $a$ на $b$ определяются так: $a = p * b + r$ , причём $0\leqslant r<b$ . Заметим, что именно последнее условие запрещает деление на ноль, так как иначе $a$ можно представить в виде $a = p * 0 + a$ , то есть можно было бы считать частным $0$ , а остатком = $a$ .

Следует заметить, что именно операции сложения и умножения являются основополагающими. В частности, кольцо целых чисел определяется именно через бинарные операции сложения и умножения.

[править] Теоретико-множественные определения

Воспользуемся определением натуральных чисел как классов эквивалентности конечных множеств. Будем обозначать класс эквивалентности множества A относительно биекций как [A]. Тогда основные арифметические операции определяются следующим образом:

$[A] + [B] = [A \sqcup B]$
$[A] * [B] = [A \times B]$
$[A] [B] = [A B]$

где $A \sqcup B$ — дизъюнктное объединение множеств, $A \times B$ — прямое произведение, $A B$ — множество отображений из B в A. Можно показать, что полученные операции на классах введены корректно, то есть не зависят от выбора элементов классов, и совпадают с индуктивными определениями.

[править] Основные свойства

Коммутативность сложения. $\,\! a + b = b + a$
Коммутативность умножения. $\,\! ab = ba$
Ассоциативность сложения. $\,\! (a + b) + c = a + (b + c)$
Ассоциативность умножения. $\,\! (ab)c = a(bc)$
Дистрибутивность умножения относительно сложения. $\,\! \begin{cases} a(b+c) = ab + ac \\ (b + c)a = ba + ca \end{cases}$

[править] Алгебраическая структура

Сложение превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, роль единицы выполняет 0. Умножение также превращает множество натуральных чисел в полугруппу с единицей, при этом единичным элементом является 1. С помощью замыкания относительно операций сложения-вычитания и умножения-деления получаются группы целых чисел $\mathbb Z$ и рациональных положительных чисел $\mathbb Q^*_+$ соответсвенно.

[править] Натуральные числа в русском языке

Числа от 1 до 10 — один (1), два (2), три (3), четы́ре (4), пять (5), шесть (6), семь (7), во́семь (8), де́вять (9), де́сять (10).

Числа от 11 до 20 — оди́ннадцать (11), двена́дцать (12), трина́дцать (13), четы́рнадцать (14), пятна́дцать (15), шестна́дцать (16), семна́дцать (17), восемна́дцать (18), девятна́дцать (19), два́дцать (20).

Числа от 30 до 90 — три́дцать (30), со́рок (40), пятьдеся́т (50), шестьдеся́т (60), се́мьдесят (70), во́семьдесят (80), девяно́сто (90).

Числа от 100 до 900 — сто (100), две́сти (200), три́ста (300), четы́реста (400), пятьсо́т (500), шестьсо́т (600), семьсо́т(700), восемьсо́т (800), девятьсо́т (900).